LOGIKA
MATEMATIKA
I. PENDAHULUAN
Logika adalah dasar dan
alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya,
sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan
pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metode-metode dan prinsip-prinsip
yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak
benar (incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak
mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau
memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan
dari sebuah pernyataan atau lebih.
II. PERNYATAAN
Pernyataan
adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja
dan tidak kedua-duanya.
Istilah-istilah
lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup,
kalimat deklaratif, statement atau proposisi.
III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK
Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan,
kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk.
Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak
memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk
dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa
pernyataan tunggal.
Dua pernyataan tunggal
atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan
pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk
disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan
majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja
pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan
pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.
Untuk menggabungkan
pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata
gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-
operasi
logika matematika.
Contoh:
1.
Jakarta
2. Merah putih adalah bendera negara RI
3.
2
adalah bilangan prima yang genap
4. Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap
Soal:
Buatlah
contoh pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai
kebenarannya!
IV. OPERASI LOGIKA
Adapun operasi-operasi yang dapat
membentuk pernyataan majemuk adalah
1. Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol “ ~ “
2. Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ Ù “
3. Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ Ú “
4. Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “ Þ “
5. Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “ Û “
Contoh pernyataan majemuk:
1. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih
2.
Ani
dan Ana anak kembar
3. Cuaca hari ini mendung atau cerah
4.
Jika
x = 0 maka
Suatu segitiga dikatakan
segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama
V. TABEL KEBENARAN
1. Operasi Negasi
Operasi negasi atau ingkaran adalah
operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi
dilambangkan “ ~ “
Jika p
adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.
Negasi
dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu
pernyataan yang bernilai salah adalah benar.
Definisi:
Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan
Definisi
diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
P
|
~ p
|
B
S
|
S
B
|
Contoh:
p :
Jakarta ibukota negara Republik Indonesia
~ p
: Jakarta bukan ibukota negara Republik
Indonesia
2. Operasi Konjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang
dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata
perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan “ Ù “
Definisi:
Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai
P
|
q
|
P Ù q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
A
|
B
S
S
S
|
Suatu pernyataan majemuk yang
dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata
perangkai atau disebut disjungsi. Operasi
disjungsi dilambangkan dengan “ Ú
“
Definisi:
Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu
komponennya bernilai benar,
sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar
jika paling sedikit komponennya
bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.
Definisi
diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
bersambung...
