Materi Logika Matematika Lengkap

LOGIKA MATEMATIKA

I.    PENDAHULUAN

           Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.

II.  PERNYATAAN

           Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya.

Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.    

III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK       

           Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal.

           Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.

           Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-

operasi logika matematika.

Contoh:

1.  Jakarta adalah ibukota negara RI

2.  Merah putih adalah bendera negara RI

3.  2 adalah bilangan prima yang genap

4.  Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap

Soal:

Buatlah contoh pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai kebenarannya!  

IV. OPERASI LOGIKA 

           Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah

1.  Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol  “ ~ “

2.  Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ Ù “

3.  Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ Ú “

4.  Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “ Þ “

5.  Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “ Û “

Contoh pernyataan majemuk:

1.  Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih

2.  Ani dan Ana anak kembar

3.  Cuaca hari ini mendung atau cerah

4.  Jika x = 0 maka x² = x

Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama

V. TABEL KEBENARAN

1.  Operasi Negasi

           Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “ ~ “

Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.

Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.

Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

P	~ p
B S	S B

  

Contoh:

p    :  Jakarta ibukota negara Republik Indonesia

~ p :  Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia 

2.  Operasi Konjungsi

           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan “ Ù “

Definisi: Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai

P	q	P Ù q
B B S S	B S B A	B S S S

 3. Operasi Disjungsi

           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan “ Ú  “

Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu 

              komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar

              jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

bersambung...