Persamaan Kuadrat Kelas X SMA/MA

1. Persamaan Kuadrat

A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Sebuah Persamaan Kuadrat yang berbentuk   Dengan a, b, dan c bilangan real dan a   0 Disebut bentuk persamaan Kuadrat. x  disebut variabel, a merupakan Koefesien dari x², b merupakan koefesien dari x, c merupkan konstanta


B. Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar atau penyelesaian atau solusi suatu persamaan kuadrat adalah nilai penggati x yang memenuhi persamaan kuadrat , umumnya dinotasikan dengan x₁ dan x₂, Antara akar-akar (x₁ dan x₂) dan persamaan kuadrat selalu berlaku hubungan;

C. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

akar-akar persamaan kuadrat (jika ada) dapat ditentukan dengan tiga cara, yaitu memfaktoran, melengkapi bentuk kuadrat dan menggunakan rumus ABC

1. Pemfaktoran (faktorisasi)
    Bentuk umum  diuraikan ke bentuk:

    dengan syarat p.q =a.c dan p + q = b
2, 

Read More

Penemuan Leonardo Euler

TAHUKAH KAMU, APA YANG DITEMUKAN LEONARDO EULER

Berikut adalah bilangan hasil eksplorasi matematikawan Leonardo Euler (1707 - 1783). Dia melakukan perhitungan terhadap sejumlah bilangan yang ia susun sebagai berikut

hitungan menggunakan kalkulator. bandingkan hasil ini dengan bilangan yang diperoleh dengan cara tekan angka lalu tombol e^x pada kalkulator scientific

Bilangan ini disebut bilangan e (huruf dengan nama Euler ) sebagai penghargaan atas penemuannya tersebut

Read More

Sejarah Aritmatika Penemu Angka Nol

Tahukah kamu, apa aritmatika itu? Kapan aritmatika mulai ada? Untuk menjawabnya, perlu kita telusuri kembali fakta sejarah kaum muslim di abad pertengahan. Aritmatika adalah cabang ilmu matematika yang berkaitan dengan hitungan. Dalam bahasa Arab aritmatika sering dikenal dengan nama ilmu “al-Hisab”.

Adapun ruang lingkup kajianya adalah melakukan proses perhitungan atas benda-benda yang didapati dalam kehidupan kita sehari-hari. Perhitungan tersebut meliputi proses penjumlahan, pengurangan, perkalian serta pembagian.

Untuk kepentingan perhitungan tersebut, para ahli matematika menciptakan satu set simbol bilangan yang menunjukan pada “kuantitas” tertentu. Misalnya, simbol 1 memiliki nilai tertentu akan berbeda dengan simbol 2, 3 dan seterusnya. Simbol-simbol inilah yang kita sebut dengan “angka”.

Dengan nilai tetap dari tiap-tiap angka tersebut. Kita dengan mudah dapat menjumlahkan bilangan tertentu, dari sekelompok benda. Misalnya 52 ekor kambingan ditambah dengan 47 ekor kambing akan sama dengan 99 ekor kambing, tanpa harus mendatangkan dan menghitung satu persatu secara rill 99 ekor kambing tersebut dihadapi kita.

Kapan sistem bilangan desimal itu mulai ada? Sejarah kelahiran bilangan desimal, tidak bisa  dilepaskan dari kisah kemenangan bangsa Arab setelah menguasai Alexandria pada tahun 641 M.

Mulai saat itu, bangsa Arab tetap mempertahankan dan mengembangkan matematika Yunani, untuk berabad-abad lamanya. Mereka membawa gagasan Yunani ke Eropa Barat setelah menduduki Spanyol pada tahun 747 M. Ketika itu negara-negara barat masih tenggelam dalam tahun-tahun kegelapan atau yang sering terkenal dengan istilah “the dark age”

Disamping itu, bangsa Arab juga banyak mendapat pengaruh pemikiran matematika para ilmuwan Hindia dan India, seperti Brahmagupta (598 – 660 M) dan Arya-Bhata (475 – 550 M).

Dari pengaruh Yunani dari India tersebut, maka bangsa Arab telah mewarisi simbol dari 1 sampai 9, yang bisa digunakan dalam perhitungan sehari-hari saat itu. Setelah para ilmuwan muslim memahami gagasan aritmatika Tunani dan India, mereka mulai mengembangkan cara-cara mereka sendiri. Namun dalam pengembangannya, aritmatika mengalami kompleksitas yang tidak mudah, ketika harus menghitung jumlah yang tidak sedikit, seperti satu juta milyar dan sebagainya. Oleh karena itu, para ilmuwan Islam berusaha keras untuk menciptakan sistem bilangan yang dapat digunakan untuk kepentingan tesebut. Muncullah sebuah sistem bilangan desimal yang memanfaatkan simbol nol sebagai tanda kelipatan sepuluh, seribu dan seterusnya.

Lalu siapakah penemu angka nol itu? Sebuah sumbangan yang sangat cerdas untuk aritmatika dibuat oleh Abu Abdullah Muhamad bin Musa al-Khawarizmi (780 – 850 M) “seorang ahli matematika muslim kelahiran khwarizm Kheva, sebuah kota di sebelah selatan sungai Oxus Uzbekistan” yang telah menciptakan angka nol atau “Sifr” untuk pertama kalinya pada tahun 830 M, dalam sebuah karyanya yang terkenal yaitu Al-Maqala fi Hisab al-Jabr wa al Muqabalah (the Book of Summary in the Proces of Calculation for Compulasion and Equation).

Mulai saat itu, lahirlah satu sistem bilangan desimal baru yang dilengkapi dengan simbol nol, sebagai tanda kelipatan sepuluh, kelipatan seratus, kelipatan seribu dan seterusnya, sebagaimana yang kita gunakan sekarang ini.

Aritmatika, selanjutnya, mendapat tempat yang luas dari filosuf atau ilmuwan muslim pada saat ini. Misalnya saja, oleh Ibnu Sina dalam bukunya yang berjudul “al-Syifa”, ia telah mengabadikan aritmatika dalam bukunya tersebut dalam judul “al-Hisab”.

Perangko ini dibuat pada tanggal 6 september 1983 di Uni Soviet untuk mengenang kelahiran Al-Khwarizmi's yaitu ulang tahun yang sekitar 1200.

Sumber: Mutadi, 2008, Bergelut Dengan Si Asyik Matematika, PT. Listafariska Putra;Jakarta

Read More

Materi Logika Matematika Lengkap

LOGIKA MATEMATIKA

I.    PENDAHULUAN

           Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.

II.  PERNYATAAN

           Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya.

Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.    

III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK       

           Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal.

           Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.

           Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-

operasi logika matematika.

Contoh:

1.  Jakarta adalah ibukota negara RI

2.  Merah putih adalah bendera negara RI

3.  2 adalah bilangan prima yang genap

4.  Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap

Soal:

Buatlah contoh pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai kebenarannya!  

IV. OPERASI LOGIKA 

           Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah

1.  Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol  “ ~ “

2.  Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ Ù “

3.  Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ Ú “

4.  Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “ Þ “

5.  Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “ Û “

Contoh pernyataan majemuk:

1.  Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih

2.  Ani dan Ana anak kembar

3.  Cuaca hari ini mendung atau cerah

4.  Jika x = 0 maka x² = x

Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama

V. TABEL KEBENARAN

1.  Operasi Negasi

           Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “ ~ “

Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.

Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.

Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

P	~ p
B S	S B

  

Contoh:

p    :  Jakarta ibukota negara Republik Indonesia

~ p :  Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia 

2.  Operasi Konjungsi

           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan “ Ù “

Definisi: Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai

P	q	P Ù q
B B S S	B S B A	B S S S

 3. Operasi Disjungsi

           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan “ Ú  “

Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu 

              komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar

              jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

bersambung...

Read More